Mô hình hubbard là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Giới thiệu mô hình Hubbard

Mô hình Hubbard là một trong những mô hình tối giản nhưng nền tảng nhất trong vật lý chất đậm đặc, được đề xuất để miêu tả tương tác giữa các electron trên mạng tinh thể. Mục đích chính của mô hình là nghiên cứu sự cạnh tranh giữa động học khuếch tán electron và tác động tương tác Coulomb mạnh tại cùng một vị trí mạng.

Mô hình này đã trở thành cơ sở lý thuyết để giải thích các hiện tượng phức tạp như pha Mott, chuyển pha kim loại-điện môi và cơ chế siêu dẫn bất thường. Tính tổng quát và khả năng mở rộng của mô hình cho phép nghiên cứu cả hệ electron spin tự do và có tương tác, đồng thời hỗ trợ phát triển các phương pháp giải gần đúng và mô phỏng số học.

• Khởi nguồn: đề xuất bởi John Hubbard năm 1963 để giải thích từ tính của kim loại chuyển tiếp.
• Áp dụng rộng rãi trong: chất lượng cao phân tách, vật liệu siêu dẫn, mạng quang học với nguyên tử lạnh.
• Phát triển: mở rộng thành mô hình t–J, Extended Hubbard, và tích hợp với lý thuyết trường trung bình động (DMFT).

Phương trình Hamiltonian cơ bản

Hamiltonian của mô hình Hubbard bao gồm hai thành phần chính: điều hòa electron giữa các vị trí lân cận và tương tác Coulomb khi hai electron có spin trái ngược cùng chiếm một vị trí mạng. Phương trình tổng quát:

$H = -t \sum_{\langle i,j\rangle,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma} \;+\; U \sum_{i} n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow}$

Trong đó:

Ký hiệu	Ý nghĩa
t	Hệ số hopping, xác định xác suất electron di chuyển giữa hai vị trí lân cận
U	Năng lượng thế Coulomb khi hai electron ngược spin chiếm cùng một site
c_{i,\sigma}^\dagger	Toán tử tạo electron spin σ tại vị trí i
n_{i,\sigma}	Toán tử số electron spin σ tại vị trí i (n = c^\dagger c)

Biểu thức Hamiltonian tóm gọn bản chất tương tác và khuếch tán của hệ electron, tạo nền tảng cho các phân tích pha và tính chất từ tính của vật liệu.

Ý nghĩa vật lý của tham số t và U

Tham số t kiểm soát độ rộng băng dẫn của hệ electron: giá trị t lớn làm tăng khả năng di chuyển của electron, dẫn đến trạng thái kim loại. Ngược lại, khi t nhỏ, electron bị cản trở chuyển động, dễ hình thành pha cách ly điện môi nếu tương tác U đủ mạnh.

Tham số U mô tả tương tác đẩy Coulomb tĩnh tại cùng một site, tạo ra hiệu ứng cản trở kép electron (coulomb blockade). Khi U vượt ngưỡng U_c so với băng dẫn W~zt (z: số lân cận), hệ có thể chuyển sang pha Mott:

• Pha kim loại (U/W ≪ 1): electron phân bố rộng, dẫn điện tốt.
• Pha Mott (U/W ≫ 1): electron bị khóa tại site, dẫn điện kém, tạo điện môi tương tác mạnh.

Sự cạnh tranh giữa t và U cũng quyết định mức độ từ tương ứng: từ tính ferromagnet khi U lớn tại bán đầy, đến antiferromagnet gỗ-số khi U trung bình và độ lấp đầy n=1.

Giải pháp lý thuyết: phương pháp gần đúng

Giải chính xác mô hình Hubbard trong chiều lớn hơn 1 là bài toán phi tuyến, vì vậy nhiều phương pháp gần đúng đã được phát triển:

• Phương pháp trường trung bình (Mean–Field): Tách tương tác U theo giá trị trung bình ⟨n⟩, đơn giản hóa Hamiltonian thành dạng không tương tác hiệu dụng.
• DMFT (Dynamical Mean-Field Theory): Áp dụng lý thuyết trường trung bình động, thay thế lattice bằng một impurity model gắn kết với bồn tắm điện tử tự điều chỉnh (link.aps.org).
• Phương pháp biến phân (Variational): Sử dụng hàm sóng Gutzwiller hoặc Jastrow để ước lượng trạng thái nền, tối ưu hóa tham số biến phân.
• Mô phỏng Monte Carlo: QMC (Quantum Monte Carlo) cho lattice hữu hạn, tính các đại lượng nhiệt động học và phổ excitations.

Bảng tóm tắt hiệu quả của từng phương pháp:

Phương pháp	Ưu điểm	Hạn chế
Mean-Field	Đơn giản, ít tốn tài nguyên	Bỏ qua dao động lượng tử, không thích hợp pha Mott mạnh
DMFT	Bao gồm dao động thời gian, mô tả tốt pha Mott	Không tính được tương quan không gian, tốn kém tính toán
Variational	Linh hoạt hàm sóng, hiệu quả cho trạng thái nền	Phụ thuộc hàm sóng chọn, khó mở rộng kích thước lớn
QMC	Kết quả gần chính xác cho lattice nhỏ	Vấn đề dấu trừ (sign problem), hạn chế kích thước

Các phương pháp này thường được kết hợp hoặc so sánh để đạt được cái nhìn toàn diện về pha và tính chất của mô hình Hubbard.

Giải pháp chính xác trên mạng một chiều (Bethe ansatz)

Mô hình Hubbard một chiều có thể giải chính xác bằng phương pháp Bethe ansatz, như John Sutherland và Elliott Lieb – F. Y. Wu đã phát triển. Phương pháp này biến bài toán tương tác mạnh thành hệ phương trình tích phân cho các moment lượng tử (quasimomenta) của electron, cho phép xác định phổ năng lượng và trạng thái nền.

Phương trình Bethe ansatz cho hệ N electron trên L site với mật độ n = N/L thường được viết dưới dạng:

$e^{ik_jL} = \prod_{l\neq j} \frac{\sin k_j - \sin k_l + iU/2t}{\sin k_j - \sin k_l - iU/2t}, \quad j=1,\dots,N$

Giải hệ này cho phép tính chính xác năng lượng nền và các phổ kích thích (spinon, holon), làm rõ hiện tượng tách spin – charge đặc trưng cho một chiều .

Pha Mott và pha kim loại

Pha Mott xuất hiện khi tương tác Coulomb U lớn hơn băng dẫn W (~4t ở một chiều, ~~zt với z là số lân cận). Ở n=1 (bán đầy), khi U/W vượt ngưỡng U_c/W ∼1, hệ đóng mở khe năng lượng, trở thành điện môi Mott với khe Mott Δ ≈ U−W.

Tỷ số U/W	Trạng thái	Đặc điểm
<0.5	Kim loại	Điện dẫn tốt, phổ liên tục
≈1	Cận pha	Dao động mạnh, khởi phát Mott
>1.5	Mott điện môi	Khe năng lượng mở, tính cách ly

Chuyển pha kim loại–Mott quan sát được qua đo độ dẫn điện, quang phổ Raman hoặc quang phổ quang điện (ARPES) trên vật liệu như V₂O₃ và các oxit chuyển tiếp .

Mở rộng mô hình: t–J và Extended Hubbard

Từ giới hạn U≫t, mô hình Hubbard có thể quy về mô hình t–J qua khai triển perturbation bậc hai trong t/U, thu được Hamiltonian:

$H_{t\text{-}J} = -t \sum_{\langle i,j\rangle,\sigma} \tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger \tilde{c}_{j,\sigma} + J\sum_{\langle i,j\rangle} \Bigl(\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j - \frac{1}{4}n_i n_j\Bigr), \quad J=\frac{4t^2}{U}$

Extended Hubbard bổ sung các tương tác ngoại-site V giữa electron lân cận, mang lại khả năng nghiên cứu pha điện mật độ (charge-density wave) và các pha trật tự dài hạn khác:

• Thành phần V: $V\sum_{\langle i,j\rangle}n_i n_j$
• Pha CDW, SDW (spin-density wave) xuất hiện khi V cạnh tranh với U và t .

Ứng dụng trong vật lý chất đậm đặc và siêu dẫn

Mô hình Hubbard và t–J là nền tảng lý thuyết cho cơ chế siêu dẫn bất thường ở các chất động điện tử dày như cuprate (La_2–xSr_xCuO₄) và sắt pnictide. Các tính toán DMFT, QMC và DCA (Dynamical Cluster Approximation) đã mô phỏng được pha siêu dẫn d_x²–y² và gợi ý vai trò của tương tác điện tử trong cặp electron (pairing) .

Trong vật liệu nặng fermion (heavy fermion), phiên bản mở rộng của mô hình Hubbard kết hợp bồn tắm Kondo (Periodic Anderson Model) mô tả hòa trộn giữa electron địa phương và electron dẫn truyền, giải thích hiệu ứng lượng tử gần điểm tới hạn (quantum criticality).

• Thí nghiệm quang phổ ARPES và neutron scattering kiểm chứng các dự đoán lý thuyết.
• Tính chất nhiệt động: hệ số nhiệt, đối lưu Pauli biểu hiện tương tác mạnh.

Thực nghiệm và mô phỏng trên mạng quang học với nguyên tử lạnh

Với nguyên tử lạnh, hệ Rubidium hoặc Lithium trong bẫy quang học (optical lattice) tái tạo chính xác Hamiltonian Hubbard với khả năng điều chỉnh t, U độc lập. Thí nghiệm của I. Bloch và cộng sự đã quan sát chuyển pha kim loại–Mott qua đo mật độ lấp đầy và dao động Bragg .

Ưu điểm của hệ nguyên tử lạnh:

1. Điều khiển tham số động học và tương tác với độ chính xác cao.
2. Đọc tín hiệu không phá hủy qua ảnh học fluorescence và quang phổ gióng sóng (noise correlations).

Những tiến bộ gần đây bao gồm quan sát tách spin–charge và thực nghiệm Bethe ansatz bước sóng:các site 1D bằng kĩ thuật quét quang học phân giải cao.

Danh mục tài liệu tham khảo

1. Lieb E. H., Wu F. Y. “Absence of Mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension.” Phys. Rev. Lett. 1968;20(25):1445–1448. link.aps.org
2. Imada M., Fujimori A., Tokura Y. “Metal-insulator transitions.” Rev. Mod. Phys. 1998;70(4):1039–1263. link.aps.org
3. Dagotto E. “Correlated electrons in high-temperature superconductors.” Rev. Mod. Phys. 1994;66(3):763–840. link.aps.org
4. Gutzwiller M. C. “Effect of correlation on the ferromagnetism of transition metals.” Phys. Rev. Lett. 1963;10(5):159–162. link.aps.org
5. Georges A., Kotliar G., Krauth W., Rozenberg M. J. “Dynamical mean‐field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions.” Rev. Mod. Phys. 1996;68(1):13–125. link.aps.org
6. Bloch I., Dalibard J., Zwerger W. “Many-body physics with ultracold gases.” Rev. Mod. Phys. 2008;80(3):885–964. link.aps.org
7. Jaksch D., Zoller P. “The cold atom Hubbard toolbox.” Ann. Phys. 2005;315(1):52–79. sciencedirect.com
8. Essler F. H. L., Frahm H., Göhmann F., Klümper A., Korepin V. E. The One-Dimensional Hubbard Model. Cambridge University Press; 2005.
9. Scalapino D. J. “A common thread: The pairing interaction for unconventional superconductors.” Rev. Mod. Phys. 2012;84(4):1383–1417. link.aps.org
10. Schauss P., et al. “Observation of spatially ordered structures in a two-dimensional Rydberg gas.” Nature. 2015;491:87–91. nature.com